华里士公式（Wallis formula）是高等数学中专门用于计算定积分∫₀^{π/2} sinⁿx dx 或 cosⁿx dx 的递推公式，其核心形式为：若 n 为大于1的整数，则 ∫₀^{π/2} sinⁿx dx = (n-1)/n · ∫₀^{π/2} sinⁿ⁻²x dx。这一公式之所以被形象地称为“点火公式”，是因为在计算过程中，每递推一次，指数n就减少2，如同引信燃烧一步步缩短，最终当n为奇数时结果会化为一个有理数与π/2的乘积（如“点燃”后产生火花），而当n为偶数时则变成一个纯有理数（如同“点火”成功），整个过程充满了“逐步点燃”的趣味联想，因此在高校数学课堂和考研圈中广为流传。
华里士公式的递推本质源于分部积分或三角恒等式，具体推导如下：设 Iₙ = ∫₀^{π/2} sinⁿx dx，则 Iₙ = ∫₀^{π/2} sinⁿ⁻¹x · sinx dx，利用分部积分可得到 Iₙ = (n-1)/n · Iₙ₋₂。同理，对于cosⁿx也成立。运用该公式，可快速计算如∫₀^{π/2} sin⁷x dx = (6/7)·(4/5)·(2/3)·1 = 16/35，而∫₀^{π/2} sin⁶x dx = (5/6)·(3/4)·(1/2)·π/2 = 5π/32。这种“奇偶有别”的收敛模式，正是“点火”一词的生动来源——奇数指数如同一次次引信缩短，最终只留下一个有理数（无π）；偶数指数则“点燃”出一个带π的漂亮结果。
在考研数学和高等数学竞赛中，华里士公式（点火公式）是高频考点，常与区间再现、换元法结合使用。例如求∫₀^{π/2} sin²x cos⁴x dx，可先化为 sin²x (1-sin²x)² = sin²x - 2sin⁴x + sin⁶x，再分别套用点火公式，快速得到结果。此外，该公式还可推广到任意区间[0,π/2]的对称形式，甚至用于计算Gamma函数值，是连接离散积分与连续分析的桥梁。
【常见问题】
问题1：华里士公式为什么叫点火公式，这个名称的由来是什么？
回答1：华里士公式之所以叫点火公式，是因为其递推过程如同点燃引信：每步将指数n减少2，像引信逐步燃烧，当n为奇数时最终结果不含π（如同“熄灭”），当n为偶数时结果含π/2（如同“点燃火花”），这种“逐步递减、奇偶有别”的模式被学生形象地比喻为“点火”，因此得名。
问题2：华里士公式（点火公式）在计算定积分时有哪些实用技巧？
回答2：使用华里士公式（点火公式）时，关键要记住递推关系 Iₙ = (n-1)/n · Iₙ₋₂，并区分奇偶性。对于奇数n，从1开始乘到n；对于偶数n，从π/2开始乘。例如计算∫₀^{π/2} sin⁸x dx，直接用点火公式 I₈ = (7/8)·(5/6)·(3/4)·(1/2)·π/2 = 35π/256。此外，可结合三角恒等变形将复杂积分化为标准形式再点火。
问题3：华里士公式（点火公式）与伽马函数有什么关系？
回答3：华里士公式（点火公式）是伽马函数在特定参数下的特例。实际上，∫₀^{π/2} sinⁿx dx = √π · Γ((n+1)/2) / [2 · Γ(n/2 + 1)]，其中Γ为伽马函数。当n为整数时，该表达式退化为点火公式的有理数或含π结果，因此点火公式可视作伽马函数在整数点上的离散简化。