问arctanx的不定积分怎么求

【arctanx的不定积分怎么求】在微积分的学习过程中，求解反三角函数的不定积分是一个常见的问题。其中，“arctanx 的不定积分”是许多学生容易混淆的内容。本文将通过总结和表格的形式，系统地讲解 arctanx 的不定积分方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、基本思路

求 ∫ arctanx dx 的关键是使用分部积分法（Integration by Parts）。

分部积分公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

对于 ∫ arctanx dx，我们设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入分部积分公式：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，只需计算 ∫ x/(1 + x²) dx 即可。

二、简化剩余积分

考虑 ∫ x/(1 + x²) dx：

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{1}{2} dt $

因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、最终结果

将以上结果代回原式：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

四、总结与表格

五、注意事项

- 在进行分部积分时，选择合适的 u 和 dv 是关键。

- 对于形如 ∫ arctanx dx 的积分，通常需要结合代数替换来简化后续计算。

- 结果中包含对数项，需注意其定义域（x ∈ R）。

通过上述步骤和表格，我们可以清晰地看到如何一步步求出 arctanx 的不定积分。掌握这个过程有助于理解更复杂的反三角函数积分问题。