【黎曼可积函数的充要条件】在数学分析中，黎曼积分是研究函数在区间上“面积”问题的重要工具。判断一个函数是否为黎曼可积，是学习积分理论的基础内容之一。本文将对黎曼可积函数的充要条件进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本概念回顾
黎曼积分：设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上定义，若对于任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，存在某个分割 $ P $，使得所有对应的黎曼和与某一个确定的极限值之差小于 $ \varepsilon $，则称函数 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上是黎曼可积的。
二、黎曼可积的充要条件
根据数学分析中的经典结论，函数在闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积的充要条件如下：
1. 有界性：函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上必须是有界的。
2. 连续点的“足够多”：函数在区间 $[a, b]$ 上的不连续点构成的集合必须是零测集（即测度为零）。
换句话说，只要函数在区间上有界，并且不连续点不超过“可忽略”的程度，就可以保证其黎曼可积。
三、常见情况说明
| 情况 | 是否黎曼可积 | 原因 |
| 连续函数 | 是 | 连续函数在闭区间上必有界且不连续点为空集，满足条件 |
| 分段连续函数 | 是 | 若只有有限个不连续点，则不连续点集合为零测集 |
| 有理数上有定义、无理数上为0的函数 | 否 | 不连续点为整个区间，测度不为零 |
| 有界且仅在可数个点不连续 | 是 | 可数点集的测度为零，满足条件 |
| 有界但不连续点不可数 | 否 | 如康托尔函数等，不连续点可能为不可数集 |
四、总结
综上所述，函数在闭区间上黎曼可积的关键在于两个方面：
- 有界性：函数不能无限大；
- 不连续点的“稀疏性”：不连续点必须“足够少”，即属于零测集。
这些条件构成了判断函数是否黎曼可积的核心标准。理解这些条件有助于更深入地掌握积分理论，也为后续学习勒贝格积分打下基础。
原文黎曼可积函数的充要条件