【完全平方公式】在数学中，完全平方公式是一个非常基础且重要的代数公式，广泛应用于多项式展开、因式分解以及方程求解等过程中。它主要用来计算两个数的和或差的平方，是初中数学的重要内容之一。
一、完全平方公式的定义
完全平方公式指的是：
- 两数和的平方：
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
- 两数差的平方：
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
这两个公式可以用于快速计算类似 $(x + 3)^2$ 或 $(2x - 5)^2$ 这样的表达式，而不需要逐项相乘。
二、公式推导过程（简要）
1. (a + b)² 的展开：
$$
(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2
$$
2. (a - b)² 的展开：
$$
(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - 2ab + b^2
$$
通过这种方式，我们可以直观地理解每个项的来源。
三、典型应用举例
| 表达式 | 展开结果 |
| $(x + 2)^2$ | $x^2 + 4x + 4$ |
| $(3y - 5)^2$ | $9y^2 - 30y + 25$ |
| $(a + b)^2$ | $a^2 + 2ab + b^2$ |
| $(m - n)^2$ | $m^2 - 2mn + n^2$ |
这些例子展示了如何利用完全平方公式快速进行多项式展开。
四、常见误区与注意事项
1. 符号错误：
在使用差的平方时，中间项是负号，容易被忽略。例如：
$(x - 3)^2 ≠ x^2 - 3^2$，而是 $x^2 - 6x + 9$。
2. 漏掉中间项：
有些人会直接写成 $a^2 + b^2$，忽略了 $2ab$ 这一项，这是常见的错误。
3. 变量混淆：
在处理含多个变量的表达式时，需注意区分各个项，避免混淆。
五、总结
完全平方公式是代数学习中的基础工具，掌握其含义和用法对后续学习多项式运算、因式分解等内容具有重要意义。通过反复练习和实际应用，可以加深对公式的理解和记忆。
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 和的平方 | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | 三项展开，中间为正 |
| 差的平方 | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | 三项展开，中间为负 |
通过表格形式的对比，有助于更清晰地掌握两种情况的区别和应用场景。