【求极限lim的常用公式有哪些】在数学分析中，求极限是微积分的重要内容之一。掌握一些常用的极限公式，可以帮助我们更高效地解决各类极限问题。以下是一些常见的求极限公式及其适用条件和示例。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数函数的极限为其本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其极限为该点值 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的基本极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与三角函数相关的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 7 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数e的定义 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$ | 幂函数的极限形式 |
二、无穷小量与无穷大量比较
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 9 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 无穷小量之间的等价关系 |
| 10 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 与正切函数相关的极限 |
| 11 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ | 余弦函数在0处的极限 |
| 12 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 对数函数增长慢于线性函数 |
| 13 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0$（$k > 0$） | 指数函数增长远快于多项式函数 |
| 14 | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ | 0乘以负无穷的极限 |
三、洛必达法则（L’Hospital Rule）
当遇到$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式时，可使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
注意：仅适用于不定型，且导数存在。
四、泰勒展开与麦克劳林展开
对于复杂函数，可以通过泰勒展开近似计算极限：
- $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
这些展开式在求极限时非常有用，尤其是在处理高阶无穷小或高阶无穷大的情况下。
五、夹逼定理（Squeeze Theorem）
若对所有x满足$a < x < b$，有：
$$
f(x) \leq g(x) \leq h(x)
$$
且$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则：
$$
\lim_{x \to a} g(x) = L
$$
六、其他常见极限
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 15 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的导数形式 |
| 16 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
| 17 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
| 18 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$ | 扩展形式的e定义 |
总结
在求极限的过程中，灵活运用上述公式和方法，能够显著提高解题效率。同时，理解每种公式的适用范围和限制条件，也是避免错误的关键。建议在学习过程中多做练习，结合图像和实际例子加深理解。